Application of Gauss Law - आवेशित अचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र

अनंत विस्तार की आवेशित समतल पतली अचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (electric field due to a charged thin non - conducting sheer of infinite extent):-


         आवेशित सीट के निकटवर्ती विन्दुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता:-

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         माना एक पतली आवेशित चालक thin charge conducting sheet सीट जो कि एक समान रुप से आवेशित हो, इसके प्रति एकांक पृष्ठ पर आवेश घनत्व (Charge density per unit area) है। 
               इसके प्रति एकांक पृष्ठ पर आवेश को पृष्ठ आवेश घनत्व surface charge density कहते हैं। इसके लिए शीट के एक और एक छोटा बेलनाकर गाउसीएन पृष्ठ लेते हैं जिसमें तीन पृष्ठ होते हैं, दो सपाट flate surface पृष्ठ एवं तीसरा तिर्यक पृष्ठ curved surface

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     बेलनाकार पृष्ठ पर आवेश सममित है। आपको नीचे चित्र में स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा होगा कि पृष्ठ A व B  पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता क्रमशः E1 व E2 हैं।

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सपाट पृष्ठ A पर विद्युत क्षेत्र E1 तथा सूक्ष्म सदिश क्षेत्रफल dS1 के बीच बनने वाला कोण =0°
पृष्ठ A से होकर जाने वाला विद्युत फ्लक्स electric flux

      φ1 = ∫E1·dS1 = ∫E1dS1cos 0°
      ≡ E∫dS1 = E1a       [∵∫dS1 = a]


पृष्ठ B पर विद्युत क्षेत्र E2 तथा सूक्ष्म क्षेत्रफल dS2 के बीच बनने वाला कोण = 180°
 ∴  सपाट पृष्ठ B से होकर जाने वाला फ्लक्स electric flux

       φ2 = ∫E2·dS2 = ∫E2dS2cos 180°
      ≡ -E∫dS2 = -E2a       [∵∫dS2 = a]

तिर्यक पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता E तथा वक्र पृष्ठ dS3 क्षेत्रफल के बीच बनने वाला कोण = 90°
∴ तिर्यक पृष्ठ से होकर जाने वाला विद्युत फ्लक्स electric flux

        φ3 = ∫E3·dS3  = ∫E3dS3cos90°  = 0                           [∵cos90° = 0]

∴ बेलनाकार पृष्ठ से होकर जाने वाला कुल विद्युत फ्लक्स electric flux

     φ(total) = φ1+ φ2 + φ3
  = E1a - E2a + 0 = ( E1 - E2)a      ...... (1)

क्योंकि पृष्ठ सीट के एक तरफ है अतः पृष्ठ द्वारा घिरा आवेश = 0 (zero)
गाउस प्रमेय से बेलनाकार पृष्ठ sylindrical surface से होकर जाने वाला कुल विद्युत फ्लक्स electric flux

           φ(total) = 1/ε×(0) = 0.    (2)

समीकरणों (1) व (2) की तुलना करने पर

           (E1 - E2)a = 0

           अतः   E1 = E2

इससे स्पष्ट है कि सीट के निकटवर्ती सभी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता समान है अर्थात.  E1 = E2 = E


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आवेशित अचालक सीट से r दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का मान (Electric field due to non conducting sheet at r distance ):-

   अब हमें शीट sheet के निकट r दूरी पर विद्युत क्षेत्र electric field की तीव्रता intensity ज्ञात करनी है, इसके लिए हम पहले ही यह देख चुके हैं की सीट के निकट प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का मान समान होता है।

        इस प्रकार हम इस शीट के कारण विद्युत क्षेत्र था की तीव्रता निकालने के लिए एक गाऊसीयन बेलनाकार पृष्ठ gausian sylindrical surface इस प्रकार लेते हैं कि इसके flat surface सपाट पृष्ठ सीट के दोनों ओर स्थित हों अर्थात यदि सीट को बेलनाकार पृष्ठ के बीच रखा जाए तथा curved surface तिर्यक पृष्ठ सीट के लंबवत हो जो कि शीट को काटकर जाता हो

  आपको नीचे चित्र में भलीभांति दिख रहा होगा कि कैसे सीट बेलनाकार गौसियन पृष्ठ को काट कर जाती है।
    इस गाउसियन पृष्ठ को तीन भागों में divided विभाजित किया जा सकता है
(1)दाएं और का वृत्ताकार पृष्ठ S1 right side

(2) बाएं और का का वृत्ताकार पृष्ठS2 left side

(3)  बेलनाकार पृष्ठ S3 curved surface side
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अब E व dS1 के बीच बनने वाला कोण = 0°
∴ पृष्ठ A से होकर जाने वाला विद्युत फ्लक्स

 φ1 = ∫E·dS1 = ∫E·dS1cos 0° = Ea ......(1)

E व dS2 के बीच बनने वाला कोण = 0°
∴ पृष्ठ B से होकर जाने वाला विद्युत फ्लक्स,

φ2 = ∫E·dS2 = ∫E·dS2cos 0° = Ea   .....(2)

      [ a = पृष्ठ का क्षेत्रफल area of surface ]

तिर्यक पृष्ठ से होकर जाने वाला विद्युत फ्लक्स,

 φ3 = ∫E·dS3 = ∫E·dS3cos 90° = 0    ....(3)

∴ बेलनाकार पृष्ठ से होकर जाने वाला कुल विद्युत फ्लक्स

        φ =  φ1 + φ2 + φ3   
         = Ea + Ea + 0 = 2Ea         …...(4)

पृष्ठ द्वारा घिरा कुल आवेश = σa

गौस की प्रमेय से पृष्ठ से होकर जाने वाला कुल विद्युत फ्लक्स

                = 1/ε×(σa)       .....(5)

समीकरणों (4) व  (5) की तुलना करने पर

                2Ea = 1/ε×(σa)

             ⇒      E = σ/2ε


विद्युत क्षेत्र का यह सूत्र पृष्ठ से दूरी r पर निर्भर नहीं करता है।

   इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि सीट के निकट सभी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का Magnitude परिमाण समान होता है, तथा इसकी दिशा धनआवेशित सीट के अभिलंब शीट से बाहर की ओर होगी जबकि ऋण आवेशित शीट के कारण यह शीट की ओर होगी।

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