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Equation of motion - गति की समीकरण | Kinematic equation for uniformly accelerated motion, motion in hindi

◆एक समान त्वरित गति के समीकरणों की उत्पत्ति Derivation of equation of uniformly accelerated motion:- [motion in hindi]


हमारे पास कक्षा 11 में गति के समीकरण Equation of motion in hindi के बारे में है, जिसे हमें सिद्ध Proved करना पड़ता है, सबसे पहले हमें यह समझने की आवश्यकता है कि गति की जो तीनों समीकरण equations हैं यह असमान गति non - uniform motion की समीकरण है, परंतु साथ में यह भी ध्यान देना आवश्यक है कि यह असमान गति non uniform motion के साथ साथ एक समान त्वरित गति  uniform accelerated motion की समीकरण भी है।
Equation of motion - गति की समीकरण | Kinematic equation for uniformly accelerated motion
Equation of motion - गति की समीकरण

      अर्थात गति तो आसमान non uniform है क्योंकि यहां पर वेग velocity change बदल रहा है परंतु इसके साथ ही वेग समान समय में समान समय मे समान रूप से बदल रहा है अतः यह एक समान त्वरित गति uniform acceleration motion है।
   एक समान त्वरित गति के समीकरणों को हम दो विधियों two method से सिद्ध prove कर सकते हैं एक ग्राफीय विधि Graphical method तथा दूसरी गणितीय mathematical अथवा अवकलन विधि calculus methods यहां पर हम केवल गणितीय विधि mathematical method के बारे में ही आपको बताने वाले हैं।
Uniform acceleration motion एक समान त्वरित गति के समीकरणों को सिद्ध prove करने से पहले यह जानना आवश्यक है।
u = प्रारम्भिक वेग Initial velocity
v = अंतिम वेग final velocity
s = विस्थापन displacement
a  = त्वरण. Acceleration

अब हम गति के तीनो समीकरण को एक-एक one by one करके सिद्ध करेंगे।





●माना एक वस्तु एक सीधी रेखा में एक समान त्वरण a से गति कर रही है इसका प्रारंभिक समय (t=0)में वेग u तथा t समय पश्चात यह वेग v हो जाता है माना t time में वस्तु object का विस्थापन displacement s हो जाता है।


Kinematic Equations of motions

◆प्रथम समीकरण First Equation of motion

वेग में समय परिवर्तन की दर को change of velocity is known as acceleration त्वरण कहते हैं, अर्थात्
                a = dv/dt
⇒           dv  =  adt
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
        v         t
       ∫dv  =  ∫adt
       u         0
  ∵ a नियत है, अतः
             v            t
      [ v ]   = a[ t  ]
            u           0
यहाँ पर वेग की Limit u से v रखी गयी है क्योंकि प्रारंभिक वेग u तथा अंतिम वेग v है, तथा समय 0 से t बदलेगा।

  अतः [ v -  u ]   =  a[ t - 0 ]

  ⇒  v - u =  at 

  अतः   v  =  u + at   .......(1)




◆द्वितीय समीकरण Second Equation of motion

विस्थापन परिवर्तन की समय दर को change of displacement is known as velocity वेग हैं, अर्थात्

  v  =   ds/dt

⇒ ds = vdt

समीकरण (1) से v का मान रखने पर
⇔  ds = ( u + at )dt
                       [ ∵ v = u + at ]
    s        t
   ∫ds = ∫( u + at )dt
  0        0
यहाँ पर विस्थापन की limit 0 से s रखी गयी है तथा साथ ही समय 0 से t रखा गया है, क्योंकि t समय मे वस्तु s विस्थापन तय कर लेगा इस बारे में हमने already पहले ही सब कुछ मान लिया है आशा करते हैं कि आपको समझ understand आ गया होगा।
      s         t           t
 ⇒∫ds =   ∫udt  +  ∫atdt
      0       0         0

         s               t                 t
   [ s ]   =   u[ t ]  +  a/2[ t² ]
       0               0               0


⇒ [s - 0] = u[t - 0]+ a/2[t² -0 ]

अतः s  =  ut  +   ½at²   ....(2)


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◆तृतीय समीकरण Third Equation of motion

तृतीय समीकरण को सिद्ध करने के लिए पुनः त्वरण का Concept लेते हैं।

      a  =  dv/dt  से
दाएं पक्ष में अंश एवं हर को ds से गुणा करते हैं।
       
 a  =  dv/dt × ds/ds

⇔ a  =  dv/dt × vdt/ds

                         [ ∵  ds = vdt   ]
 
       a  = vdv/ds 

  ⇔  ads  =    vdv

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
        s              v
       ∫ads  =    ∫vdv
       0             u

               s                 v
 =  a [ s ]   =  ½ [ v² ]
            0                 u

  ⇒  a[ s - 0 ]   = ½ [ v²  -  u² ]

  ⇔    as  =   ½(v²  -  u²)


⇔       2as  =   v²  -  u²


⇔v² =  u²  +   2as   ....(3)



 
Equation of motion - गति की समीकरण | Kinematic equation for uniformly accelerated motion
Equation of motion - गति की समीकरण
     
प्रश्न 1:-  एक कार का वेग 6 सेकेंड में 20km/hour से 60 km/hour हो जाता है। कार का त्वरण कितना है ?
इस प्रश्न में वेग km/hour में दिया गया है, सबसे पहले इसे m/s में बदलना होगा,
1km/hour = 5/18 m/s

प्रारंभिक वेग u = 20km/hour = 20 × 5/18 m/s = 50/9 m/s

अन्तिम वेग v = 60km/hour = 60×5/18m/s = 150/9m/s

      t = 6सेकेण्ड
गति के प्रथम समीकरण v = u + at  से,       a = (v - u)/t

           = (150/9  -   50/9)/6

              100/54 = 1.87m/s²


प्रश्न2:- एक पिंड Object को पृथ्वी से ऊपर की ओर 100 m/S (मीटर/सेकंड) के वेग से फेंका जाता है वह वापस पृथ्वी पर पहुंचने में लगभग कितना समय लेगी ?

Solution:- दिया है प्रारंभिक वेग u = 100 m/s
जब वस्तु पृथ्वी से ऊपर की ओर अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगी उस समय उसका वेग शून्य(Zero) होगा अतः v= 0 m/s
गति की प्रथम समीकरण
           v = u +  at  से
0  =  100  -  10t [a = -g  = -10 ] क्योंकि वस्तु पृथ्वी से ऊपर की ओर जा रही है अतः गुरुत्वीय त्वरण ऋणात्मक होगा।

     10t = 100

      t   =  10s
यह समय पृथ्वी से maximum hight अधिकतम ऊंचाई तक जाने का है तथा हमें ज्ञात करना है कि पृथ्वी पर वापस पहुंचने का समय time taken by the object to reach to earth इसलिए जितना समय वस्तु को पृथ्वी से अधिकतम ऊंचाई तक जाने में लगा होगा उतना ही समय वस्तु को अधिकतम ऊंचाई से पृथ्वी तक आने में लगेगा।
   अतः वस्तु द्वारा Earth तक वापस पहुंचने में लगा समय 20 second

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1 Comments

  1. bhai aapki Website achi hai likin iska template change kigiye or Important page bhi baneye..
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    is site par visit kar ke blogger tips and tricks sekhe

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